Три дня назад я подобрала кота на улице ему около двух лет, его кастрировали, но он просится гулять. Я пробовала его выводить на улицу на шлейке, он очень спокойно гуляет, как быть? Продолжать гулять с ним или он привыкнет потом жить дома?

А с какой целью вы его выгуливаете? Туалет или движение? Я не вижу смысла выгуливать котов на шлейке... Либо уж выпускать "в свободный полет" либо совсем не выпускать (на мой взгляд это предпочтительнее и с точки зрения безопасности кота и с точки зрения вашего спокойствия). Туалет кот может делать и дома в лоток (раз он кастрированный, значит когда-то был домашний и умел пользоваться лотком и не гулял сам на улице - иначе не было бы смысла его кастрировать).
Много движений кошкам не нужно - они спят 80 процентов жизни. В общем - если вам самим нравится - можете гулять (хуже не будет, если с прививками все в порядке).